18. Решить однородное уравнение второй степени. \(3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0\)

Решение:

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (при условии, что \(\cos x
eq 0\)). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), и тогда \(\sin x = \pm 1\). Подставив это в исходное уравнение, получим \(3(\pm 1)^2 - 4(\pm 1)(0) + 0^2 = 3
eq 0\). Значит, \(\cos x
eq 0\).

• \[ \frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
• \[ 3 \text{tg}^2 x - 4 \text{tg} x + 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \text{tg} x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ 3y^2 - 4y + 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернемся к замене \(y = \text{tg} x\):

1. \[ \text{tg} x = 1 \]
2. \[ \text{tg} x = \frac{1}{3} \]

Решим первое уравнение:

• \[ \text{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим второе уравнение:

• \[ \text{tg} x = \frac{1}{3} \implies x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)