9. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: f(x)=x⁴+4,5x²-12x-8.

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции \( f(x) = x^4 + 4.5x^2 - 12x - 8 \) необходимо:

1. Найти производную функции:

\( f'(x) = 4x^3 + 9x - 12 \).

2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 4x^3 + 9x - 12 = 0 \).

Это кубическое уравнение. Решить его аналитически сложно. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-12): \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).

Проверим \( x=1 \): \( 4(1)^3 + 9(1) - 12 = 4 + 9 - 12 = 1 \) (не ноль).

Проверим \( x=-1 \): \( 4(-1)^3 + 9(-1) - 12 = -4 - 9 - 12 = -25 \) (не ноль).

Проверим \( x=2 \): \( 4(2)^3 + 9(2) - 12 = 4(8) + 18 - 12 = 32 + 18 - 12 = 38 \) (не ноль).

Проверим \( x=-2 \): \( 4(-2)^3 + 9(-2) - 12 = 4(-8) - 18 - 12 = -32 - 18 - 12 = -62 \) (не ноль).

Без численных методов или дополнительной информации найти точные корни этого уравнения невозможно. Однако, можно заметить, что функция \( g(x) = 4x^3 + 9x - 12 \) является монотонно возрастающей (так как \( g'(x) = 12x^2 + 9 > 0 \) для всех \( x \)), поэтому она имеет только один действительный корень.

Для дальнейшего анализа, предположим, что этот корень является \( x_0 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.

Поскольку \( f'(x) = 4x^3 + 9x - 12 \) возрастает и имеет один корень \( x_0 \):

• Если \( x < x_0 \), то \( f'(x) < 0 \), функция убывает.
• Если \( x > x_0 \), то \( f'(x) > 0 \), функция возрастает.

4. Точка \( x_0 \) является точкой минимума.

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на \( (-\infty; x_0] \).
• Функция возрастает на \( [x_0; +\infty) \).

Точка экстремума:

• Точка минимума: \( x_0 \), где \( 4x_0^3 + 9x_0 - 12 = 0 \).

Примечание: Без численных методов найти точное значение \( x_0 \) невозможно. В школьной программе, как правило, такие кубические уравнения либо имеют простые корни, либо решаются графически, либо дана информация для приближенного нахождения.

Ответ: Промежутки монотонности: \( (-\infty; x_0] \) — убывание, \( [x_0; +\infty) \) — возрастание, где \( x_0 \) — корень уравнения \( 4x^3 + 9x - 12 = 0 \). Точка экстремума: \( x_0 \) — точка минимума.