8. Найдите наименьшее значение функции y=x³ - x² на промежутке [0,5;1].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^3 - x^2 \) на промежутке \( [0.5; 1] \) необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 2x \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 3x^2 - 2x = 0 \)

\( x(3x - 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{3} \).

3. Проверить, какие из критических точек попадают в заданный промежуток \( [0.5; 1] \).

• \( x=0 \) не входит в промежуток \( [0.5; 1] \).
• \( x=\frac{2}{3} \) (приблизительно 0.67) входит в промежуток \( [0.5; 1] \).

4. Вычислить значения функции в граничных точках промежутка и в критической точке, попавшей в промежуток:

• При \( x = 0.5 \): \( y = (0.5)^3 - (0.5)^2 = 0.125 - 0.25 = -0.125 \).
• При \( x = \frac{2}{3} \): \( y = (\frac{2}{3})^3 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} = \frac{8}{27} - \frac{12}{27} = -\frac{4}{27} \) (приблизительно -0.148).
• При \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - (1)^2 = 1 - 1 = 0 \).

5. Сравнить полученные значения: \( -0.125 \), \( -\frac{4}{27} \approx -0.148 \), \( 0 \).

Наименьшее значение функции равно \( -\frac{4}{27} \).

Ответ: -4/27