10. Найдите корни уравнения: ⁴√(2x-3)/x + ⁴√(x)/(2x-3) = 3.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt[4]{\frac{2x-3}{x}} + \sqrt[4]{\frac{x}{2x-3}} = 3 \).

1. Определим ОДЗ:

• Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \( \frac{2x-3}{x} \ge 0 \) и \( \frac{x}{2x-3} \ge 0 \).
• Знаменатели не должны быть равны нулю: \( x \neq 0 \) и \( 2x-3 \neq 0 \) → \( x \neq \frac{3}{2} \).

Решим неравенство \( \frac{2x-3}{x} \ge 0 \). Методом интервалов получаем: \( x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{3}{2}; +\infty) \).

Решим неравенство \( \frac{x}{2x-3} \ge 0 \). Методом интервалов получаем: \( x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{3}{2}; +\infty) \).

Общая ОДЗ: \( x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{3}{2}; +\infty) \).

2. Введём замену переменной. Пусть \( t = \sqrt[4]{\frac{2x-3}{x}} \). Тогда \( \sqrt[4]{\frac{x}{2x-3}} = \frac{1}{t} \). Заметим, что \( t > 0 \).

3. Уравнение примет вид:

\( t + \frac{1}{t} = 3 \)

4. Умножим обе части на \( t \) (так как \( t \neq 0 \)):

\( t^2 + 1 = 3t \)

\( t^2 - 3t + 1 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

\( D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 \)

\( t_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \) и \( t_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \).

Оба значения \( t_1 \) и \( t_2 \) положительны, так как \( \sqrt{5} \) приблизительно 2.23, и \( 3 - \sqrt{5} > 0 \).

6. Вернёмся к замене переменной \( t = \sqrt[4]{\frac{2x-3}{x}} \).

Случай 1: \( t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)

\( \sqrt[4]{\frac{2x-3}{x}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)

Возведём обе части в 4-ю степень:

\( \frac{2x-3}{x} = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^4 \)

Вычислим \( (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \).

\( (\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{49 + 42\sqrt{5} + 9(5)}{4} = \frac{49 + 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 + 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47 + 21\sqrt{5}}{2} \).

\( \frac{2x-3}{x} = \frac{47 + 21\sqrt{5}}{2} \)

\( 2(2x-3) = x(47 + 21\sqrt{5}) \)

\( 4x - 6 = 47x + 21\sqrt{5}x \)

\( -6 = 43x + 21\sqrt{5}x \)

\( -6 = x(43 + 21\sqrt{5}) \)

\( x = \frac{-6}{43 + 21\sqrt{5}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 43 - 21\sqrt{5} \):

\( x = \frac{-6(43 - 21\sqrt{5})}{43^2 - (21\sqrt{5})^2} = \frac{-6(43 - 21\sqrt{5})}{1849 - 441(5)} = \frac{-6(43 - 21\sqrt{5})}{1849 - 2205} = \frac{-6(43 - 21\sqrt{5})}{-356} = \frac{6(43 - 21\sqrt{5})}{356} = \frac{3(43 - 21\sqrt{5})}{178} = \frac{129 - 63\sqrt{5}}{178} \).

Случай 2: \( t = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)

\( \sqrt[4]{\frac{2x-3}{x}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)

Возведём обе части в 4-ю степень:

\( \frac{2x-3}{x} = (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^4 \)

\( (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \).

\( (\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{49 - 42\sqrt{5} + 9(5)}{4} = \frac{49 - 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 - 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47 - 21\sqrt{5}}{2} \).

\( \frac{2x-3}{x} = \frac{47 - 21\sqrt{5}}{2} \)

\( 2(2x-3) = x(47 - 21\sqrt{5}) \)

\( 4x - 6 = 47x - 21\sqrt{5}x \)

\( -6 = 43x - 21\sqrt{5}x \)

\( -6 = x(43 - 21\sqrt{5}) \)

\( x = \frac{-6}{43 - 21\sqrt{5}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 43 + 21\sqrt{5} \):

\( x = \frac{-6(43 + 21\sqrt{5})}{43^2 - (21\sqrt{5})^2} = \frac{-6(43 + 21\sqrt{5})}{1849 - 2205} = \frac{-6(43 + 21\sqrt{5})}{-356} = \frac{6(43 + 21\sqrt{5})}{356} = \frac{3(43 + 21\sqrt{5})}{178} = \frac{129 + 63\sqrt{5}}{178} \).

7. Необходимо проверить, попадают ли найденные значения \( x \) в ОДЗ. \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

• \( x_1 = \frac{129 - 63\sqrt{5}}{178} \approx \frac{129 - 63(2.236)}{178} \approx \frac{129 - 140.868}{178} \approx \frac{-11.868}{178} \approx -0.0666 \).
• \( x_2 = \frac{129 + 63\sqrt{5}}{178} \approx \frac{129 + 140.868}{178} \approx \frac{269.868}{178} \approx 1.516 \).

Оба значения удовлетворяют ОДЗ \( x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{3}{2}; +\infty) \), так как \( -0.0666 < 0 \) и \( 1.516 > 1.5 \).

Ответ: \(\frac{129 - 63\sqrt{5}}{178}\), \(\frac{129 + 63\sqrt{5}}{178}\)