9. Найдите корень уравнения log₂(8 + 5x) = log₂(3 + x) + 2.

Решение:

1. Преобразуем константу 2 в логарифм по основанию 2:

   \( 2 = \log_2(2^2) = \log_2(4) \).

2. Запишем уравнение с логарифмами:\[ \log_2(8 + 5x) = \log_2(3 + x) + \log_2(4) \]\[ \log_2(8 + 5x) = \log_2((3 + x) \cdot 4) \]\[ \log_2(8 + 5x) = \log_2(12 + 4x) \]
3. Приравняем аргументы логарифмов:

   Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:

   \[ 8 + 5x = 12 + 4x \]
4. Решим полученное линейное уравнение:\[ 5x - 4x = 12 - 8 \]\[ x = 4 \]
5. Проверим ОДЗ (область допустимых значений):

   Аргументы логарифмов должны быть положительными:

   \( 8 + 5x > 0 → 5x > -8 → x > -1.6 \).

   \( 3 + x > 0 → x > -3 \).

   Оба условия выполняются при \( x > -1.6 \). Наш корень \( x = 4 \) удовлетворяет этому условию.

Ответ: 4