9. Катер прошел от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через 3 ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_k \) — скорость катера в стоячей воде, \( v_t \) — скорость течения реки.

По условию: \( v_k = 20 \) км/ч. Расстояние \( S = 48 \) км. Время стоянки \( t_{стоянки} = 20 \) мин = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч. Общее время в пути \( t_{общее} = 3 \) ч.

Время движения катера: \( t_{движения} = t_{общее} - t_{стоянки} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \) ч.

Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_k + v_t = 20 + v_t \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{против} = v_k - v_t = 20 - v_t \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{48}{20 + v_t} \) ч.

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{48}{20 - v_t} \) ч.

Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:

\[ t_{по} + t_{против} = t_{движения} \]

\[ \frac{48}{20 + v_t} + \frac{48}{20 - v_t} = \frac{8}{3} \]

Умножим обе части уравнения на \( (20 + v_t)(20 - v_t) \) для избавления от знаменателей:

\[ 48(20 - v_t) + 48(20 + v_t) = \frac{8}{3}(20 + v_t)(20 - v_t) \]

\[ 960 - 48v_t + 960 + 48v_t = \frac{8}{3}(400 - v_t^2) \]

\[ 1920 = \frac{8}{3}(400 - v_t^2) \]

Умножим обе части на 3:

\[ 1920 \cdot 3 = 8(400 - v_t^2) \]

\[ 5760 = 8(400 - v_t^2) \]

Разделим обе части на 8:

\[ \frac{5760}{8} = 400 - v_t^2 \]

\[ 720 = 400 - v_t^2 \]

Перенесём \( v_t^2 \) в левую часть, а 720 в правую:

\[ v_t^2 = 400 - 720 \]

\[ v_t^2 = -320 \]

Так как квадрат скорости не может быть отрицательным, давайте перепроверим условие или вычисления.

Пересчитаем уравнение:

\[ \frac{48}{20 + v_t} + \frac{48}{20 - v_t} = \frac{8}{3} \]

Можно разделить обе части на 8:

\[ \frac{6}{20 + v_t} + \frac{6}{20 - v_t} = \frac{1}{3} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{6(20 - v_t) + 6(20 + v_t)}{(20 + v_t)(20 - v_t)} = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{120 - 6v_t + 120 + 6v_t}{400 - v_t^2} = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{240}{400 - v_t^2} = \frac{1}{3} \]

Перекрёстное умножение:

\[ 240 \cdot 3 = 1 \cdot (400 - v_t^2) \]

\[ 720 = 400 - v_t^2 \]

\[ v_t^2 = 400 - 720 \]

\[ v_t^2 = -320 \]

Проверим исходное условие: