9. Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь - за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение:

Пусть \( V \) – объем работы (весь забор).

Производительность Игоря и Паши: \( \frac{V}{18} \) (забора в час).

Производительность Паши и Володи: \( \frac{V}{20} \) (забора в час).

Производительность Володи и Игоря: \( \frac{V}{30} \) (забора в час).

Сложим все три уравнения:

\( (\text{Игорь} + \text{Паша}) + (\text{Паша} + \text{Володя}) + (\text{Володя} + \text{Игорь}) = \frac{V}{18} + \frac{V}{20} + \frac{V}{30} \).

\( 2 (\text{Игорь} + \text{Паша} + \text{Володя}) = V \left( \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \right) \).

Приведём правую часть к общему знаменателю 180:

\( \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{10}{180} + \frac{9}{180} + \frac{6}{180} = \frac{10+9+6}{180} = \frac{25}{180} = \frac{5}{36} \).

\( 2 (\text{Игорь} + \text{Паша} + \text{Володя}) = \frac{5V}{36} \).

Совместная производительность всех троих: \( \text{Игорь} + \text{Паша} + \text{Володя} = \frac{5V}{36 \cdot 2} = \frac{5V}{72} \) (забора в час).

Время, за которое мальчики покрасят забор втроём: \( \frac{V}{\frac{5V}{72}} = \frac{72V}{5V} = \frac{72}{5} = 14.4 \) часа.

Переведём в минуты: \( 14.4 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 864 \) минуты.

Ответ: 864 минуты.