7. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

Решение:

Пусть \( x \) – скорость накачивания воды (литров в минуту).

Тогда скорость выкачивания воды: \( x + 3 \) (литров в минуту).

Время накачивания 117 л: \( \frac{117}{x} \) минут.

Время выкачивания 96 л: \( \frac{96}{x+3} \) минут.

По условию, время накачивания на 5 минут больше времени выкачивания: \( \frac{117}{x} = \frac{96}{x+3} + 5 \).

Умножим всё на \( x(x+3) \): \( 117(x+3) = 96x + 5x(x+3) \).

\( 117x + 351 = 96x + 5x^2 + 15x \).

\( 117x + 351 = 111x + 5x^2 \).

\( 5x^2 - 6x - 351 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-351) = 36 + 7020 = 7056 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84 \).

\( x_1 = \frac{6 + 84}{2 \cdot 5} = \frac{90}{10} = 9 \).

\( x_2 = \frac{6 - 84}{2 \cdot 5} = \frac{-78}{10} = -7.8 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Скорость накачивания воды: \( 9 \) литров в минуту.

Ответ: 9 литров в минуту.