8. Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Решение:

Пусть \( x \) – количество деталей, которое делает первый рабочий за час.

Тогда количество деталей, которое делает второй рабочий за час: \( x + 1 \).

Время выполнения заказа первым рабочим: \( \frac{112}{x} \) часов.

Время выполнения заказа вторым рабочим: \( \frac{112}{x+1} \) часов.

По условию, первый рабочий выполняет заказ на 2 часа дольше, чем второй: \( \frac{112}{x} = \frac{112}{x+1} + 2 \).

Разделим всё уравнение на 2: \( \frac{56}{x} = \frac{56}{x+1} + 1 \).

Приведём к общему знаменателю \( x(x+1) \): \( \frac{56(x+1)}{x(x+1)} = \frac{56x}{x(x+1)} + \frac{x(x+1)}{x(x+1)} \).

\( 56(x+1) = 56x + x(x+1) \).

\( 56x + 56 = 56x + x^2 + x \).

\( 56 = x^2 + x \).

\( x^2 + x - 56 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \).

\( x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

\( x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \) (не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным).

Количество деталей, которое делает первый рабочий за час: \( 7 \).

Ответ: 7 деталей в час.