3. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?

Решение:

Пусть \( t \) – время наполнения бассейна первой трубой (в часах).

Тогда время наполнения второй трубой: \( t + 10 \) (в часах).

Совместная производительность: \( \frac{1}{12} \) (бассейна в час).

Производительность первой трубы: \( \frac{1}{t} \) (бассейна в час).

Производительность второй трубы: \( \frac{1}{t+10} \) (бассейна в час).

Уравнение: \( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+10} = \frac{1}{12} \).

Приведём к общему знаменателю: \( \frac{t+10 + t}{t(t+10)} = \frac{1}{12} \).

\( \frac{2t+10}{t^2+10t} = \frac{1}{12} \).

\( 12(2t+10) = t^2+10t \).

\( 24t + 120 = t^2 + 10t \).

\( t^2 - 14t - 120 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \).

\( t_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).

\( t_2 = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \) (не подходит, так как время не может быть отрицательным).

Время наполнения первой трубой: \( 20 \) часов.

Время наполнения второй трубой: \( 20 + 10 = 30 \) часов.

Ответ: 20 часов и 30 часов.