9. Докажите, что любое число является корнем уравнения \(\frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{5} = \frac{7x+5}{15} + \frac{2}{3}\)

Решение:

Чтобы доказать, что любое число является корнем уравнения, нужно упростить обе части уравнения и показать, что они тождественно равны.

1. Найдём общий знаменатель для дробей в левой части: \( LCM(3, 5) = 15 \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{5(2x+1)}{15} - \frac{3(x-2)}{15} = \frac{10x+5 - (3x-6)}{15} = \frac{10x+5-3x+6}{15} = \frac{7x+11}{15} \).
3. Теперь сравним левую часть с правой: \( \frac{7x+11}{15} \) и \( \frac{7x+5}{15} + \frac{2}{3} \).
4. Приведём дроби в правой части к общему знаменателю \( 15 \): \( \frac{7x+5}{15} + \frac{2 · 5}{15} = \frac{7x+5+10}{15} = \frac{7x+15}{15} \).
5. Сравнивая упрощённые левую и правую части, получаем: \( \frac{7x+11}{15} = \frac{7x+15}{15} \).
6. Очевидно, что \( 7x+11 \) не равно \( 7x+15 \) ни при каком значении \( x \). Следовательно, исходное утверждение неверно. Данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Утверждение неверно. Уравнение не имеет решений.