89. \(\frac{36^4}{27^3 \cdot 3^9}\)

Решение:

Представим числа в виде простых множителей:

\(36 = 6^2 = (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2\)

\(27 = 3^3\)

Подставим в выражение:

\(\frac{(2^2 · 3^2)^4}{(3^3)^3 \cdot 3^9} = \frac{2^{2 · 4} · 3^{2 · 4}}{3^{3 · 3} · 3^9} = \frac{2^8 · 3^8}{3^9 · 3^9} = \frac{2^8 · 3^8}{3^{9+9}} = \frac{2^8 · 3^8}{3^{18}}\)

Применим свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\(2^8 · 3^{8-18} = 2^8 · 3^{-10} = \frac{2^8}{3^{10}}\)

Вычислим значения:

\(2^8 = 256\)

\(3^{10} = 59049\)

Ответ: \(\frac{256}{59049}\)