8. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:5, а диагонали боковых граней равны 10 см и 2√41см. Найти длины рёбер параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания параллелепипеда равны \( 3x \) и \( 5x \). Высота параллелепипеда равна \( h \).

Диагонали боковых граней:

1. Диагональ грани со сторонами \( 3x \) и \( h \): \( d_1^2 = (3x)^2 + h^2 \). По условию \( d_1 = 10 \) см.

\( 10^2 = 9x^2 + h^2 \)

\( 100 = 9x^2 + h^2 \) (1)

2. Диагональ грани со сторонами \( 5x \) и \( h \): \( d_2^2 = (5x)^2 + h^2 \). По условию \( d_2 = 2\sqrt{41} \) см.

\( (2\sqrt{41})^2 = 25x^2 + h^2 \)

\( 4 \cdot 41 = 25x^2 + h^2 \)

\( 164 = 25x^2 + h^2 \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( (25x^2 + h^2) - (9x^2 + h^2) = 164 - 100 \)

\( 16x^2 = 64 \)

\( x^2 = \frac{64}{16} = 4 \)

\( x = 2 \) см (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдём \( h \) из уравнения (1):

\( 100 = 9(2^2) + h^2 \)

\( 100 = 9(4) + h^2 \)

\( 100 = 36 + h^2 \)

\( h^2 = 100 - 36 = 64 \)

\( h = 8 \) см.

Длины рёбер основания:

\( 3x = 3 \cdot 2 = 6 \) см

\( 5x = 5 \cdot 2 = 10 \) см

Высота = \( h = 8 \) см.

Ответ: 6 см, 10 см, 8 см.