8. Решите уравнение \( 3x^2 - 14x - 7 = (x-1)^2 \).

Решение:

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

\( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).

Теперь перепишем уравнение:

\( 3x^2 - 14x - 7 = x^2 - 2x + 1 \).

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\( 3x^2 - x^2 - 14x + 2x - 7 - 1 = 0 \).

Приведём подобные слагаемые:

\( 2x^2 - 12x - 8 = 0 \).

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

\( x^2 - 6x - 4 = 0 \).

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

1. Определим коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = -4 \).
2. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52 \].
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \].
5. \( x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + \sqrt{4 \cdot 13}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{13}}{2} = 3 + \sqrt{13} \).
6. \( x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - \sqrt{4 \cdot 13}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{13}}{2} = 3 - \sqrt{13} \).

Ответ: \( 3 + \sqrt{13}, 3 - \sqrt{13} \)