8. Решите систему уравнений: { [x² + y² = 1, { y = x² +1. }

Краткое пояснение:

• Решение системы уравнений заключается в нахождении таких значений x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Можно использовать метод подстановки.

Пошаговое решение:

1. Подставляем второе уравнение в первое:
• Так как y = x² + 1, то x² = y - 1.
• Подставляем x² в первое уравнение: (y - 1) + y² = 1
• y² + y - 1 - 1 = 0
• y² + y - 2 = 0
2. Решаем квадратное уравнение относительно y:
• Находим дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• √D = 3.
• y₁ = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2.
• y₂ = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
3. Находим соответствующие значения x:
• Если y = -2:
• x² = y - 1 = -2 - 1 = -3.
• Уравнение x² = -3 не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
• Если y = 1:
• x² = y - 1 = 1 - 1 = 0.
• x = 0.
4. Проверяем найденное решение (x=0, y=1) в исходной системе:
• x² + y² = 0² + 1² = 0 + 1 = 1 (верно)
• y = x² + 1 => 1 = 0² + 1 => 1 = 1 (верно)

Ответ: (0; 1)