10. Постройте график функции и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком одну или две общие точки. y = { x² - 4x + 5, если x ≥ 1, x + 1, если x < 1,

Краткое пояснение:

• График функции состоит из двух частей: параболы y = x² - 4x + 5 для x ≥ 1 и прямой y = x + 1 для x < 1. Прямая y = m является горизонтальной линией. Нужно найти, при каких значениях m эта линия пересекает график функции в одной или двух точках.

Построение графика:

1. Часть 1: Парабола y = x² - 4x + 5 (при x ≥ 1)
   • Найдем вершину параболы: x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2*1) = 4 / 2 = 2.
   • y_в = 2² - 4*2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1. Вершина в точке (2, 1).
   • Найдем значение в точке x = 1: y = 1² - 4*1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2. Точка (1, 2).
   • Ветви параболы направлены вверх.
2. Часть 2: Прямая y = x + 1 (при x < 1)
   • При x = 1, y = 1 + 1 = 2. Точка (1, 2).
   • При x = 0, y = 0 + 1 = 1. Точка (0, 1).
   • При x = -1, y = -1 + 1 = 0. Точка (-1, 0).
3. График:
   • График состоит из луча прямой, идущего из точки (1, 2) влево, и части параболы, начинающейся из точки (1, 2) и уходящей вправо вниз, затем вверх. Точка (1, 2) является общей для обеих частей.

Анализ пересечений с прямой y = m:

• Вершина параболы: (2, 1).
• Точка соединения частей: (1, 2).
• Минимальное значение y на графике: 1 (в вершине параболы).
• Значение y в точке соединения: 2.
• Одна общая точка:
  • Когда прямая y = m проходит через вершину параболы: m = 1.
  • Когда прямая y = m проходит через точку (1,2) и график продолжается только в одну сторону (например, линия только до x=1 или парабола только после x=1). Но в нашем случае точка (1,2) является началом и линии, и параболы. Горизонтальная линия y=m будет иметь одну точку пересечения с графиком, если она касается вершины параболы (m=1) или если она проходит через точку (1,2) и далее пересекает только одну из ветвей. Однако, из-за того, что обе части графика начинаются в (1,2), прямая y=2 будет иметь две точки пересечения: (1,2) и точку на параболе, где y=2.
  • Проверим, есть ли еще точки, где y=2 на параболе: x² - 4x + 5 = 2 => x² - 4x + 3 = 0 => (x-1)(x-3) = 0. x=1 и x=3. Так что прямая y=2 пересекает график в точках (1,2) и (3,2).
• Две общие точки:
  • Когда прямая y = m находится между минимальным значением y (1) и значением y в точке соединения (2). То есть, 1 < m < 2.
  • Также, когда прямая y = m пересекает и прямую (для x<1) и параболу (для x>=1).
  • Прямая y=m будет иметь две точки пересечения, когда m > 2 (одна точка на параболе, одна точка на прямой) или когда 1 < m < 2 (две точки на параболе).
• Уточнение для одной точки: Прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком, когда m=1 (касание вершины параболы).
• Уточнение для двух точек: Прямая y=m имеет две общие точки, когда 1 < m < 2 (пересекает параболу дважды) или когда m = 2 (пересекает в точке (1,2) и в точке (3,2)).
• Уточнение для трех точек: Если m > 2, прямая y=m будет пересекать обе части графика (прямую и параболу) по одному разу, что даст две точки пересечения.

Выводы:

• Одна общая точка: m = 1 (касание вершины параболы).
• Две общие точки: 1 < m ≤ 2. (Когда 1 < m < 2, пересекает параболу в двух точках. Когда m = 2, пересекает в точке (1,2) и (3,2)).
• Примечание: Если m > 2, прямая y=m пересекает каждую из частей графика (прямую и параболу) по одному разу, что в сумме дает две точки пересечения. Таким образом, при m > 2 также две общие точки.

Ответ: Одна общая точка при m = 1. Две общие точки при 1 < m ≤ 2 и при m > 2, что в совокупности дает m ∈ (1; +∞).