8. Рашыце сістэму ўраўненняў \( \begin{cases} \frac{2x-y}{x+y} + \frac{6}{x+y} = 3, \\ \frac{2x-y}{3} - \frac{x-y}{4} = 4 \end{cases} \)

Рашэнне:

Спрасцім першае ўраўненне, памножыўшы абедзве часткі на \( x+y \) (пры ўмове \( x+y \neq 0 \)):

\( 2x - y + 6 = 3(x + y) \)

\( 2x - y + 6 = 3x + 3y \)

\( 2x - 3x - y - 3y = -6 \)

\( -x - 4y = -6 \) \( \Rightarrow \) \( x + 4y = 6 \) (1)

Спрасцім другое ўраўненне, памножыўшы абедзве часткі на \( 12 \) (найменшы агульны дзельнік 3 і 4):

\( 12 \cdot \frac{2x-y}{3} - 12 \cdot \frac{x-y}{4} = 12 \cdot 4 \)

\( 4(2x - y) - 3(x - y) = 48 \)

\( 8x - 4y - 3x + 3y = 48 \)

\( 5x - y = 48 \) (2)

Выкарыстаем метад падстаноўкі. З ураўнення (1) выразім \( x \):

\( x = 6 - 4y \)

Падставім у ураўненне (2):

\( 5(6 - 4y) - y = 48 \)

\( 30 - 20y - y = 48 \)

\( -21y = 18 \)

\( y = -\frac{18}{21} = -\frac{6}{7} \)

Знайдзем \( x \):

\( x = 6 - 4 \cdot (-\frac{6}{7}) = 6 + \frac{24}{7} = \frac{42 + 24}{7} = \frac{66}{7} \)

Праверым умову \( x+y \neq 0 \): \( \frac{66}{7} - \frac{6}{7} = \frac{60}{7} \neq 0 \).

Адказ: \( x = \frac{66}{7}, y = -\frac{6}{7} \).