8 Постройте график функции \( y = \begin{cases} 1,5x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ -x + 1, & \text{если } x > 0 \end{cases} \). Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

Решение:

Функция задана двумя разными формулами для разных интервалов значений \( x \).

1. Для \( x \le 0 \): \( y = 1,5x + 3 \)

• Это линейная функция, её график — луч.
• Найдем точку при \( x = 0 \): \( y = 1,5(0) + 3 = 3 \). Точка \( (0; 3) \).
• Возьмем другое значение \( x \) из интервала, например \( x = -2 \): \( y = 1,5(-2) + 3 = -3 + 3 = 0 \). Точка \( (-2; 0) \).

2. Для \( x > 0 \): \( y = -x + 1 \)

• Это линейная функция, её график — луч.
• Найдем точку при \( x \) близком к 0, например, при \( x = 0,1 \): \( y = -0,1 + 1 = 0,9 \). Точка \( (0,1; 0,9) \) (приближенно).
• Возьмем значение \( x \) из интервала, например \( x = 1 \): \( y = -1 + 1 = 0 \). Точка \( (1; 0) \).

Построение графика:

Определение промежутков положительных значений:

Функция принимает положительные значения, когда \( y > 0 \).

• Для \( x \le 0 \): \( 1,5x + 3 > 0 \) \( 1,5x > -3 \) \( x > -2 \). Учитывая, что \( x \le 0 \), получаем интервал \( (-2; 0] \).
• Для \( x > 0 \): \( -x + 1 > 0 \) \( -x > -1 \) \( x < 1 \). Учитывая, что \( x > 0 \), получаем интервал \( (0; 1) \).
• Объединяем интервалы: \( (-2; 0] \cup (0; 1) = (-2; 1) \).

Ответ: График функции построен. Функция принимает положительные значения на промежутке \( (-2; 1) \).