8. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Вписанная окружность касается боковой стороны в точке касания.
• Отрезки боковой стороны от вершины, противолежащей основанию: 27 и 5.

Найти:

• Периметр треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки, один из которых прилежит к вершине, противолежащей основанию, а другой — к основанию. Таким образом, боковая сторона треугольника равна сумме этих отрезков:

Боковая сторона = 27 + 5 = 32.

Так как треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны 32.

В точке касания вписанной окружности с боковой стороной, отрезки, проведенные от вершины, противолежащей основанию, к точке касания, равны.

Если считать от вершины, противолежащей основанию, то один отрезок равен 27, а другой — 5. Это означает, что точка касания находится на расстоянии 27 от вершины и 5 от основания.

Значит, одна боковая сторона = 27 + 5 = 32.

Вторая боковая сторона тоже равна 32.

Отрезки, отсекаемые точкой касания на основании, равны разности между боковой стороной и отрезком, прилежащим к основанию. Однако, мы не знаем, как именно делит вписанная окружность боковую сторону.

Важное свойство: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Точка касания делит боковую сторону на отрезки. Пусть боковая сторона будет $$b$$. Пусть точка касания делит ее на отрезки $$x$$ и $$y$$. То есть, $$b = x + y$$.

Вершина, противолежащая основанию, — это вершина угла при основании. Отрезки, исходящие из этой вершины к точкам касания на боковых сторонах, равны. Пусть этот отрезок равен $$a$$.

Основание треугольника делится точкой касания на два отрезка, пусть они будут $$c$$ и $$d$$.

По условию, один из отрезков боковой стороны равен 27, другой — 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Это означает, что длина боковой стороны равна 27 + 5 = 32.

Итак, боковые стороны равны 32.

Пусть $$a$$ — длина отрезка от вершины, противолежащей основанию, до точки касания на боковой стороне. Тогда $$a = 27$$.

Пусть $$c$$ — длина отрезка от основания до точки касания на боковой стороне. Тогда $$c = 5$$.

Боковая сторона = $$a + c = 27 + 5 = 32$$.

Теперь рассмотрим основание. Точка касания делит основание на отрезки. Эти отрезки равны отрезкам от углов при основании до точки касания. Пусть эти отрезки основания равны $$d$$.

В равнобедренном треугольнике, если провести высоту из вершины, противолежащей основанию, она является и биссектрисой, и медианой. Точка касания вписанной окружности на основании находится в середине основания.

Таким образом, отрезки основания равны: $$d = d$$.

Теперь нам нужно найти длину основания.

Пусть $$a = 27$$ — отрезок от вершины, $$c = 5$$ — отрезок от основания.

Пусть $$b$$ — длина основания.

Отрезки от вершины угла при основании до точки касания на основании равны $$b/2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной.

Высота (h), половина основания (b/2), боковая сторона (32).

Также, радиус вписанной окружности ($$r$$) равен отрезку от точки касания на основании до середины основания. Если мы найдем $$r$$, то сможем найти $$b/2$$.

Из свойства касательных: отрезок от вершины угла при основании до точки касания на боковой стороне равен отрезку от той же вершины до точки касания на основании. Это НЕВЕРНО. Отрезки касательных равны, если они исходят из одной точки.

Правильное рассуждение:

Пусть $$a$$ — длина боковой стороны, $$b$$ — длина основания.

Пусть точки касания на боковых сторонах $$AB$$ и $$AC$$ — $$D$$ и $$E$$ соответственно, и на основании $$BC$$ — $$F$$.

Так как треугольник равнобедренный, $$AB = AC$$.

Точка $$D$$ делит $$AB$$ на отрезки $$AD = 27$$ и $$DB = 5$$.

Значит, длина боковой стороны $$AB = AD + DB = 27 + 5 = 32$$.

Следовательно, $$AC = 32$$.

Из свойств касательных:

$$AD = AE = 27$$ (отрезки от вершины $$A$$ до точек касания).

$$DB = FB = 5$$ (отрезки от вершины $$B$$ до точек касания).

$$EC = FC$$.

Так как $$AC = AE + EC = 32$$, то $$EC = 32 - AE = 32 - 27 = 5$$.

Следовательно, $$FC = EC = 5$$.

Длина основания $$BC = BF + FC = 5 + 5 = 10$$.

Теперь у нас есть длины всех сторон:

Боковые стороны = 32.

Основание = 10.

Периметр треугольника = $$AB + AC + BC = 32 + 32 + 10 = 74$$.

Ответ: 74