8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: f(x) = x³ - 18x² + 81x + 23 [8;13]

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x^3 - 18x^2 + 81x + 23)' = 3x^2 - 36x + 81 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 36x + 81 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 3: \( x^2 - 12x + 27 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-12)^2 - 4 1 27 = 144 - 108 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).
5. Найдём корни: \( x_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9 \) и \( x_2 = \frac{12 - 6}{2} = 3 \).
6. Из найденных критических точек \( x=9 \) и \( x=3 \) в интервал \( [8;13] \) попадает только \( x=9 \).
7. Вычислим значение функции в критической точке, попадающей в интервал, и на концах интервала:
• \( f(8) = 8^3 - 18 8^2 + 81 8 + 23 = 512 - 18 64 + 648 + 23 = 512 - 1152 + 648 + 23 = 33 \).
• \( f(9) = 9^3 - 18 9^2 + 81 9 + 23 = 729 - 18 81 + 729 + 23 = 729 - 1458 + 729 + 23 = 23 \).
• \( f(13) = 13^3 - 18 13^2 + 81 13 + 23 = 2197 - 18 169 + 1053 + 23 = 2197 - 3042 + 1053 + 23 = 231 \).
8. Сравним полученные значения: \( 33, 23, 231 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 23 (при x=9), наибольшее значение равно 231 (при x=13).