5. Найти производные сложной функции f(x) = 30x(5x² + 7)² ;

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x) \).

Пусть \( u = 30x \) и \( v = (5x^2 + 7)^2 \).

Найдём производную \( u \):

\( u' = (30x)' = 30 \)

Найдём производную \( v \):

Сначала найдём производную внешней функции \( y = t^2 \), где \( t = 5x^2 + 7 \). \( y' = 2t \).

Затем найдём производную внутренней функции \( t = 5x^2 + 7 \). \( t' = (5x^2 + 7)' = 10x \).

Производная \( v \) равна \( v' = 2(5x^2 + 7) 10x = 20x(5x^2 + 7) \).

Теперь подставим \( u, u', v, v' \) в формулу производной произведения:

\( f'(x) = u'v + uv' = 30(5x^2 + 7)^2 + 30x 20x(5x^2 + 7) \)

Вынесем общий множитель \( 30(5x^2 + 7) \):

\( f'(x) = 30(5x^2 + 7) [ (5x^2 + 7) + x 20x ] \)

\( f'(x) = 30(5x^2 + 7) [ 5x^2 + 7 + 20x^2 ] \)

\( f'(x) = 30(5x^2 + 7)(25x^2 + 7) \)

Ответ: \( f'(x) = 30(5x^2 + 7)(25x^2 + 7) \).