8. Найдите значение выражения $$\frac{9^6 \cdot 27^{-3}}{3^{-19}}$$

Решение:

Приведем все числа к основанию 3:

• \( 9 = 3^2 \)
• \( 27 = 3^3 \)

Подставим в выражение:

\( \frac{(3^2)^6 \cdot (3^3)^{-3}}{3^{-19}} = \frac{3^{2 \times 6} \cdot 3^{3 \times (-3)}}{3^{-19}} = \frac{3^{12} \cdot 3^{-9}}{3^{-19}} \)

Используем свойство умножения степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и деления \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\( \frac{3^{12+(-9)}}{3^{-19}} = \frac{3^{3}}{3^{-19}} = 3^{3 - (-19)} = 3^{3+19} = 3^{22} \)

Ответ: \( 3^{22} \).