10. Представьте произведение $$0,0004^x \cdot 125^x \cdot 100^x$$ в виде степени с основанием 5.

Решение:

Представим каждое основание в виде степени числа 5 или числа, связанного с 5:

• \( 0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4} \)
• \( 125 = 5^3 \)
• \( 100 = 20 \times 5 = 4 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^2 \)

Подставим в выражение:

\( (5^{-4})^x \cdot (5^3)^x \cdot (100)^x = 5^{-4x} \cdot 5^{3x} \cdot 100^x = 5^{-x} \cdot 100^x \)

Так как \( 100 = 10^2 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2 \), и \( 5^{-x} \cdot (2^2 \times 5^2)^x = 5^{-x} \times 2^{2x} \times 5^{2x} = 5^x \times 2^{2x} \). Эта форма не приводит к степени с основанием 5.

Пересмотрим разложение 100. Можно представить 100 как \( 2^2 \times 5^2 \). Или \( 100 = 4 \times 25 \).

Давайте попробуем представить все основания как степени чисел, кратных 5, или связанных с 5.

\( 0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4} \)

\( 125 = 5^3 \)

\( 100 = 2^2 \times 5^2 \)

Произведение: \( (5^{-4})^x \cdot (5^3)^x \cdot (100)^x = 5^{-4x} \cdot 5^{3x} \cdot 100^x = 5^{-x} \cdot 100^x \)

Возможно, в условии была опечатка и 100 должно было быть другим числом, например 1/4. Если предположить, что $$100$$ можно представить как $$ (\frac{1}{4} \times 5^2) $$, тогда $$ (\frac{1}{4} \times 5^2)^x = (\frac{1}{4})^x \times (5^2)^x $$.

Попробуем иначе:

\( 0,0004^x = (4 \times 10^{-4})^x = (2^2 \times (2 \times 5)^{-4})^x = (2^2 \times 2^{-4} \times 5^{-4})^x = (2^{-2} \times 5^{-4})^x = 2^{-2x} \times 5^{-4x} \)

\( 125^x = (5^3)^x = 5^{3x} \)

\( 100^x = (10^2)^x = ((2 \times 5)^2)^x = (2^2 \times 5^2)^x = 2^{2x} \times 5^{2x} \)

Теперь перемножим все:

\( (2^{-2x} \times 5^{-4x}) \cdot (5^{3x}) \cdot (2^{2x} \times 5^{2x}) \)

Сгруппируем степени с основанием 2 и 5:

\( (2^{-2x} \times 2^{2x}) \cdot (5^{-4x} \cdot 5^{3x} \cdot 5^{2x}) \)

\( 2^{-2x+2x} \cdot 5^{-4x+3x+2x} \)

\( 2^0 \cdot 5^{-x+2x} \)

\( 1 \cdot 5^x \)

\( 5^x \)

Ответ: \( 5^x \).