8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

1. Определим координаты точек.

Предположим, что точка C находится в начале координат (0,0). Тогда:

• C = (0, 0)

По клеточкам, точка B находится на 4 единицы вправо и 3 единицы вверх от C. Значит:

• B = (4, 3)

Точка A находится на 1 единицу влево и 4 единицы вверх от C. Значит:

• A = (-1, 4)

2. Найдем уравнение прямой BC.

Прямая BC проходит через точки (0,0) и (4,3).

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид y = kx, где k — угловой коэффициент.

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 0) / (4 - 0) = 3/4.

Значит, уравнение прямой BC:

• \[ y = \frac{3}{4}x \]

Приведем его к общему виду Ax + By + C = 0:

• \[ \frac{3}{4}x - y = 0 \]
• \[ 3x - 4y = 0 \]

Здесь A = 3, B = -4, C = 0.

3. Найдем расстояние от точки A(-1, 4) до прямой 3x - 4y = 0.

Формула расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

• \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Подставим значения:

• \[ d = \frac{|3 \times (-1) + (-4) \times 4 + 0|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \]
• \[ d = \frac{|-3 - 16|}{\sqrt{9 + 16}} \]
• \[ d = \frac{|-19|}{\sqrt{25}} \]
• \[ d = \frac{19}{5} \]
• \[ d = 3.8 \text{ единиц} \]

Визуальная проверка по клеткам:

Можно попробовать провести перпендикуляр из точки А к прямой ВС. Если продлить линию ВС, то из точки А (-1,4) нужно опустить перпендикуляр. Визуально, это расстояние кажется около 4 клеток.

Еще один способ (через площадь треугольника):

Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения основания BC на высоту (расстояние от A до BC).

Основание BC:

• \[ BC = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ единиц} \]

Площадь треугольника ABC через координаты:

• \[ S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| \]
• \[ S = \frac{1}{2} |(-1)(3 - 0) + 4(0 - 4) + 0(4 - 3)| \]
• \[ S = \frac{1}{2} |(-1)(3) + 4(-4) + 0| \]
• \[ S = \frac{1}{2} |-3 - 16| \]
• \[ S = \frac{1}{2} |-19| = \frac{19}{2} = 9.5 \text{ квадратных единиц} \]

Теперь используем формулу площади:

• \[ S = \frac{1}{2} \times ext{основание} \times ext{высота} \]
• \[ 9.5 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \]
• \[ 9.5 = 2.5 \times h \]
• \[ h = \frac{9.5}{2.5} = \frac{95}{25} = \frac{19}{5} = 3.8 \text{ единиц} \]

Результаты совпадают.

Ответ: 3.8