3. Найдите тангенс угла АОВ, изображённого на рисунке.

Решение:

По условию задачи, нам нужно найти тангенс угла АОВ. Для этого нам нужно определить длины противолежащего катета и прилежащего катета в прямоугольном треугольнике, если бы такой был.

В данном случае, угол АОВ образован двумя радиусами. Мы можем воспользоваться координатной плоскостью. Предположим, что центр окружности находится в начале координат (0,0).

Из рисунка видно, что точка А лежит на оси OX, и расстояние от центра до А равно радиусу. Предположим, радиус равен R. Тогда координаты точки А будут (R, 0).

Точка В находится под углом к оси OX. По клеточкам, если принять, что одна клетка = 1 единица, то радиус примерно равен 3.5 клеткам. Точка А находится на расстоянии 3.5 от центра по оси X. Точка В находится примерно на 3.5 по оси X и 2.5 по оси Y. То есть, В(3.5, 2.5).

Однако, в задаче изображена сетка, и мы можем использовать ее для определения сторон прямоугольного треугольника, построенного на радиусе OB как на гипотенузе, с катетами, параллельными осям.

Если принять, что центр окружности находится в точке (0,0), то:

Координаты точки А: Предположим, что точка А находится на оси X. Если радиус равен 3.5 единицам (по клеточкам), то А=(3.5, 0).

Координаты точки B: По клеточкам, точка B находится примерно на 3.5 единицы по оси X и 2.5 единицы по оси Y. Тогда B=(3.5, 2.5).

Угол АОВ:

Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. В данном случае, если мы опустим перпендикуляр из точки B на ось AX (или продлим ось AX), то получим прямоугольный треугольник.

Рассмотрим треугольник, образованный точкой B, точкой на оси X с той же абсциссой, что и B, и центром окружности O.

Пусть точка C будет проекцией точки B на ось OX. Тогда OC = 3.5 (по клеточкам), BC = 2.5 (по клеточкам).

Тангенс угла BOC (где OC - прилежащий катет, BC - противолежащий катет) равен:

• \[ an(\angle BOC) = \frac{BC}{OC} = \frac{2.5}{3.5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \]

Так как угол АОВ и угол BOC в данном случае равны (из-за положения точки А на оси X), то тангенс угла АОВ равен 5/7.

Проверим по рисунку:

Угол, образованный осью X и радиусом OB.

Противолежащий катет (вертикальный) = 2.5 клетки.

Прилежащий катет (горизонтальный) = 3.5 клетки.

an(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

• \[ \tan(\angle AOB) = \frac{2.5}{3.5} = \frac{5}{7} \]

Ответ: 5/7