8) $$\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}$$

Решение:

Чтобы решить уравнение, приведём его к общему знаменателю и приравняем числители. Сначала определим ОДЗ: \(x \neq -7\) и \(x \neq 1\).

1. Умножим обе части уравнения на \((x+7)(x-1)\):
2. \((2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\)
3. Раскроем скобки:
4. \(2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28\)
5. \(2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\)
6. Перенесём все члены уравнения в правую часть:
7. \(3x^2 - 2x^2 + 25x + 3x + 28 - 1 = 0\)
8. \(x^2 + 28x + 27 = 0\)
9. Решим квадратное уравнение \(x^2 + 28x + 27 = 0\) с помощью дискриминанта:
10. \(D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(1)(27) = 784 - 108 = 676\)
11. \(\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26\)
12. \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 26}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1\)
13. \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 26}{2(1)} = \frac{-54}{2} = -27\)
14. Оба корня \(-1\) и \(-27\) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = -27\).