8. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке P. Найдите основание AD, если BP=30, PD=150, BC = 32.

Решение:

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке P. BC и AD — основания трапеции.

Рассмотрим треугольники ΔPBC и ΔPDA.

\( \angle BCP = \angle DAP \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

\( \angle CBP = \angle ADP \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).

\( \angle BPC = \angle APD \) (вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ΔPBC и ΔPDA подобны по трем углам.

Из подобия следует соотношение сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{BP}{PD} = \frac{PC}{PA} \).

Нам дано: \( BC = 32 \), \( BP = 30 \), \( PD = 150 \).

Подставим известные значения в соотношение:

\( \frac{32}{AD} = \frac{30}{150} \).

Упростим дробь \( \frac{30}{150} = \frac{1}{5} \).

Получаем пропорцию: \( \frac{32}{AD} = \frac{1}{5} \).

Вычислим AD:

\( AD = 32 \cdot 5 = 160 \).

Ответ: 160.