8. б) В начальных, средних и старших классах гимназии обучается 680 человек. В средних классах обучается на 40% больше, чем в старших, и на 80 человек больше, чем в начальных классах. Сколько человек обучается в начальных классах?

Решение:

Пусть \( N_{нач} \), \( N_{сред} \), \( N_{старш} \) — количество учащихся в начальных, средних и старших классах соответственно.

Известно, что \( N_{нач} + N_{сред} + N_{старш} = 680 \).

В средних классах на 40% больше, чем в старших: \( N_{сред} = N_{старш} + 0.40 \cdot N_{старш} = 1.40 \cdot N_{старш} \).

Из этого следует, что \( N_{старш} = \frac{N_{сред}}{1.40} = \frac{10 N_{сред}}{14} = \frac{5 N_{сред}}{7} \).

В средних классах на 80 человек больше, чем в начальных: \( N_{сред} = N_{нач} + 80 \).

Отсюда \( N_{нач} = N_{сред} - 80 \).

Подставим выражения для \( N_{нач} \) и \( N_{старш} \) в первое уравнение:

\( (N_{сред} - 80) + N_{сред} + \frac{5 N_{сред}}{7} = 680 \)

\( 2 N_{сред} - 80 + \frac{5 N_{сред}}{7} = 680 \)

\( 2 N_{сред} + \frac{5 N_{сред}}{7} = 680 + 80 \)

\( 2 N_{сред} + \frac{5 N_{сред}}{7} = 760 \)

Умножим всё на 7, чтобы избавиться от дроби:

\( 14 N_{сред} + 5 N_{сред} = 760 \cdot 7 \)

\( 19 N_{сред} = 5320 \)

\( N_{сред} = \frac{5320}{19} \)

\( N_{сред} = 280 \)

Теперь найдем количество учащихся в начальных классах:

\( N_{нач} = N_{сред} - 80 = 280 - 80 = 200 \).

Ответ: В начальных классах обучается 200 человек.