8. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 62°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Следовательно, \( \angle ACB = 90° \). Это противоречит условию \( \angle ACB = 62° \).

Предположим, что AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB — вписанный угол. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB.

Угол ACB опирается на дугу AB. Если \( \angle ACB = 62° \), то дуга AB равна \( 2 62° = 124° \).

Центральный угол AOD равен градусной мере дуги AD.

Поскольку AC — диаметр, дуга ADC = 180°.

\( AD = 180° - CD \).

Угол CBD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. \( CD = 2 CBD \).

Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. \( BOC = 180° - 2 OBC \).

Угол ACB = 62°. Угол AOC — развернутый, 180°.

Рассмотрим треугольник AOD. OA = OD (радиусы), значит, он равнобедренный. \( AOD = 180° - 2 OAD \).

Вертикальные углы \( AOD \) и \( BOC \) равны. И \( DOC \) и \( AOB \) равны.

Если \( \angle ACB = 62° \), то дуга AB = \( 2 62° = 124° \).

Тогда \( \angle AOB = 124° \).

Углы \( AOD \) и \( BOC \) являются вертикальными. Углы \( AOB \) и \( COD \) являются вертикальными.

\( AOB + AOD = 180° \) (смежные углы).

Так как AC и BD — диаметры, то \( AOB + BOC = 180° \).

\( AOD = BOC \).

\( AOB = COD \).

Угол ACB — вписанный, он равен половине дуги AB. \( AB = 2 ACB = 2 62° = 124° \).

Тогда центральный угол \( AOB = 124° \).

Угол AOD смежный с углом AOB.

\( AOD = 180° - AOB = 180° - 124° = 56° \).

Ответ: 56