6. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 60, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 12√21. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90° \). CH — высота, проведенная к гипотенузе AB.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} AC BC \)

2. \( S = \frac{1}{2} AB CH \)

Приравняем:

\( AC BC = AB CH \)

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

Из подобия треугольников ABC, ACH, CBH:

\( AC^2 = AH AB \)

\( BC^2 = BH AB \)

\( CH^2 = AH BH \)

Из \( AC^2 = AB AH \) и \( BC^2 = AB BH \) следует, что \( AC BC = AB (AH + BH) = AB^2 \).

Также из подобия \( \triangle ACH \triangle CBH \), имеем \( \frac{AC}{BC} = \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} \), значит \( CH^2 = AH BH \).

Мы знаем \( AC = 60 \) и \( CH = 12√21 \).

Из \( CH^2 = AH BH \) и \( AC^2 = AH AB \), \( BC^2 = BH AB \).

Рассмотрим \( \triangle ACH \). \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( 60^2 = AH^2 + (12√21)^2 \)

\( 3600 = AH^2 + 144 21 \)

\( 3600 = AH^2 + 3024 \)

\( AH^2 = 3600 - 3024 = 576 \)

\( AH = √576 = 24 \)

Теперь найдем \( AB \) из \( AC^2 = AH AB \):

\( 60^2 = 24 AB \)

\( 3600 = 24 AB \)

\( AB = \frac{3600}{24} = 150 \)

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \)

\( sin \angle ABC = \frac{60}{150} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)

Ответ: 0.4