74. $ \log_{2} 3 - \log_{2} (2-3x) = 2 - \log_{2} (4-3x) $

Question

$Фото задания: 74. $ \log_{2} 3 - \log_{2} (2-3x) = 2 - \log_{2} (4-3x) $$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем уравнение $ \log_{2} 3 - \log_{2} (2-3x) = 2 - \log_{2} (4-3x) $.

Перенесем все логарифмы в левую часть, а константу в правую: $ \log_{2} 3 - \log_{2} (2-3x) + \log_{2} (4-3x) = 2 $.
Используем свойства логарифмов: $ \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} $ и $ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c) $.
$ \log_{2} \left( \frac{3(4-3x)}{2-3x} \right) = 2 $.
Воспользуемся определением логарифма: $ 2^2 = \frac{3(4-3x)}{2-3x} $ $ \Rightarrow $ $ 4 = \frac{12-9x}{2-3x} $.
Решим полученное уравнение: $ 4(2-3x) = 12-9x $ $ \Rightarrow $ $ 8-12x = 12-9x $.
Перенесем члены с $ x $ в одну сторону, а константы в другую: $ -12x + 9x = 12 - 8 $ $ \Rightarrow $ $ -3x = 4 $.
Разделим обе части на -3: $ x = -\frac{4}{3} $.
Проверим ОДЗ: $ 2-3x > 0 $ $ \Rightarrow $ $ 2 > 3x $ $ \Rightarrow $ $ x < \frac{2}{3} $ и $ 4-3x > 0 $ $ \Rightarrow $ $ 4 > 3x $ $ \Rightarrow $ $ x < \frac{4}{3} $.
$ x = -\frac{4}{3} $ удовлетворяет обоим условиям, так как $ -\frac{4}{3} \approx -1.33 $, $ \frac{2}{3} \approx 0.67 $ и $ \frac{4}{3} \approx 1.33 $.

Ответ: $ x = -\frac{4}{3} $.

74. \( \log_{2} 3 - \log_{2} (2-3x) = 2 - \log_{2} (4-3x) \)