42. $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 3 + 1 $

Question

$Фото задания: 42. $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 3 + 1 $$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем уравнение $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 3 + 1 $.

Запишем 1 как логарифм по основанию 2: $ 1 = \log_{2} 2 $.
Подставим это в уравнение: $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 3 + \log_{2} 2 $.
Используем свойство логарифма произведения: $ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c) $. $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} (3 \cdot 2) $ $ \Rightarrow $ $ \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 6 $.
Если логарифмы равны при одинаковых основаниях, то и их аргументы равны: $ 2x+1 = 6 $.
Решим линейное уравнение: $ 2x = 6 - 1 $ $ \Rightarrow $ $ 2x = 5 $.
Разделим обе части на 2: $ x = \frac{5}{2} $ $ \Rightarrow $ $ x = 2.5 $.
Проверим ОДЗ: $ 2x+1 > 0 $ $ \Rightarrow $ $ 2x > -1 $ $ \Rightarrow $ $ x > -0.5 $. Значение $ x = 2.5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 2.5 $.

42. \( \log_{2} (2x+1) = \log_{2} 3 + 1 \)