43. $ \log_{2} (7x-4) = 2 + \log_{2} 13 $

Question

$Фото задания: 43. $ \log_{2} (7x-4) = 2 + \log_{2} 13 $$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем уравнение $ \log_{2} (7x-4) = 2 + \log_{2} 13 $.

Запишем 2 как логарифм по основанию 2: $ 2 = \log_{2} 2^2 = \log_{2} 4 $.
Подставим это в уравнение: $ \log_{2} (7x-4) = \log_{2} 4 + \log_{2} 13 $.
Используем свойство логарифма произведения: $ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c) $. $ \log_{2} (7x-4) = \log_{2} (4 \cdot 13) $ $ \Rightarrow $ $ \log_{2} (7x-4) = \log_{2} 52 $.
Если логарифмы равны при одинаковых основаниях, то и их аргументы равны: $ 7x-4 = 52 $.
Решим линейное уравнение: $ 7x = 52 + 4 $ $ \Rightarrow $ $ 7x = 56 $.
Разделим обе части на 7: $ x = \frac{56}{7} $ $ \Rightarrow $ $ x = 8 $.
Проверим ОДЗ: $ 7x-4 > 0 $ $ \Rightarrow $ $ 7x > 4 $ $ \Rightarrow $ $ x > \frac{4}{7} $. Значение $ x = 8 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 8 $.

43. \( \log_{2} (7x-4) = 2 + \log_{2} 13 \)