12. $ 2 \log_{3} x - \log_{3} (x-1) = 1 + \log_{3} 5 $

Question

$Фото задания: 12. $ 2 \log_{3} x - \log_{3} (x-1) = 1 + \log_{3} 5 $$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем уравнение $ 2 \log_{3} x - \log_{3} (x-1) = 1 + \log_{3} 5 $ для решения.

Перенесем все логарифмы в одну сторону, а константу в другую: $ 2 \log_{3} x - \log_{3} (x-1) - \log_{3} 5 = 1 $.
Используем свойства логарифмов: $ n \log_{a} b = \log_{a} b^n $ и $ \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} $.
$ \log_{3} x^2 - \log_{3} (x-1) - \log_{3} 5 = 1 $ $ \Rightarrow $ $ \log_{3} \frac{x^2}{5(x-1)} = 1 $.
Воспользуемся определением логарифма: $ 3^1 = \frac{x^2}{5(x-1)} $ $ \Rightarrow $ $ 3 = \frac{x^2}{5x-5} $.
Решим полученное уравнение: $ 3(5x-5) = x^2 $ $ \Rightarrow $ $ 15x - 15 = x^2 $ $ \Rightarrow $ $ x^2 - 15x + 15 = 0 $.
Найдем дискриминант: $ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 225 - 60 = 165 $.
Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{165}}{2} $.
Проверим ОДЗ: $ x > 0 $ и $ x-1 > 0 $ $ \Rightarrow $ $ x > 1 $.
$ \sqrt{165} $ приблизительно $ \sqrt{169} = 13 $.
$ x_1 \approx \frac{15+13}{2} = 14 $. $ x_2 \approx \frac{15-13}{2} = 1 $. $ x_2 $ не удовлетворяет ОДЗ $ x > 1 $.
$ x_1 = \frac{15+\sqrt{165}}{2} $ удовлетворяет условию $ x > 1 $.

Ответ: $ x = \frac{15+\sqrt{165}}{2} $.

12. \( 2 \log_{3} x - \log_{3} (x-1) = 1 + \log_{3} 5 \)