7. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3 см, а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть \( H \) — высота пирамиды, \( h \) — апофема (высота боковой грани), \( a \) — сторона основания, \( R \) — радиус окружности, вписанной в основание. Угол между боковой гранью и основанием равен \( 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( H \), апофемой \( h \) и радиусом вписанной окружности \( R \), имеем:

\( \cos 60^{\circ} = \frac{R}{h} \) и \( \tan 60^{\circ} = \frac{H}{R} \).

Из \( \tan 60^{\circ} = \frac{H}{R} \) получаем \( R = \frac{H}{\tan 60^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \) см.

Из \( \cos 60^{\circ} = \frac{R}{h} \) получаем \( h = \frac{R}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2}{1/2} = 4 \) см.

Сторона основания \( a \) правильного треугольника связана с радиусом вписанной окружности формулой \( R = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). Отсюда \( a = 2\sqrt{3} R = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна полупериметру основания, умноженному на апофему:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h \)

Периметр основания \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} (12\sqrt{3}) \cdot 4 = 6\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3} \) см².

Ответ: 24√3 см².