10. Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), у которого AC = 3√2 и ∠A = 30°. Диагональ B₁С боковой грани составляет с плоскостью АА₁В₁ угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдём элементы основания ABC:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC = 3\sqrt{2} \) (катет).

\( \angle A = 30^{\circ} \).

\( BC \) (катет) найдём через тангенс:

\( \tan A = \frac{BC}{AC} \) \(\Rightarrow\) \( BC = AC \cdot \tan A = 3\sqrt{2} \cdot \tan 30^{\circ} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \).

Площадь основания \( S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (3\sqrt{2}) (\sqrt{6}) = \frac{3}{2} \sqrt{12} = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).

2. Найдём высоту призмы (AA₁):

Рассмотрим боковую грань ACC₁A₁. Диагональ B₁C проецируется на плоскость AA₁B₁. Нам дана диагональ B₁C боковой грани. Это означает, что мы рассматриваем грань BB₁C₁C.

Диагональ B₁C боковой грани (BB₁C₁C) составляет с плоскостью AA₁B₁ угол 30°. Плоскость AA₁B₁ параллельна плоскости основания ABC. Значит, угол между диагональю B₁C и плоскостью основания ABC равен 30°.

Проекция диагонали B₁C на плоскость основания — это отрезок BC. Следовательно, угол между B₁C и BC равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁C (угол B равен 90°, так как призма прямая).

\( \angle BCB_1 = 30^{\circ} \).

В этом треугольнике \( BC = \sqrt{6} \).

Высота призмы \( BB_1 \) (обозначим её \( h \)) находится из соотношения:

\( \tan(\angle BCB_1) = \frac{BB_1}{BC} \)

\( \tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{6}} \)

\( h = \sqrt{6} \cdot \tan 30^{\circ} = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \).

Высота призмы \( h = \sqrt{2} \).

3. Вычислим объём призмы:

\( V = S_{осн} \cdot h \)

\( V = (3\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}) \)

\( V = 3\sqrt{6} \).

Ответ: 3√6.