7. Найдите все значения k, при которых равны значения выражений 6-k и \( \sqrt{4k-3} \).

Решение:

Приравняем выражения:

\( 6-k = \sqrt{4k-3} \)

Для того чтобы корень имел смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\( 4k-3 \ge 0 \implies 4k \ge 3 \implies k \ge \frac{3}{4} \)

Также, поскольку \( \sqrt{4k-3} \) не может быть отрицательным, то и \( 6-k \) не может быть отрицательным:

\( 6-k \ge 0 \implies k \le 6 \)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (6-k)^2 = (\sqrt{4k-3})^2 \)

\( 36 - 12k + k^2 = 4k - 3 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( k^2 - 12k - 4k + 36 + 3 = 0 \)

\( k^2 - 16k + 39 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 39 = 256 - 156 = 100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \)

Найдём корни:

\( k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{26}{2} = 13 \)

\( k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие условиям \( k \ge \frac{3}{4} \) и \( k \le 6 \).

• Для \( k_1 = 13 \): \( 13 \ge \frac{3}{4} \) (верно), но \( 13 \le 6 \) (неверно). Значит, \( k=13 \) — посторонний корень.
• Для \( k_2 = 3 \): \( 3 \ge \frac{3}{4} \) (верно) и \( 3 \le 6 \) (верно). Значит, \( k=3 \) — подходящий корень.

Ответ: \( k=3 \).