6. Постройте схематически график функции $ y = \begin{cases} x^{-4}, & x < 0; \\ x^3, & x \ge 0. \end{cases} $. Сколько общих точек он имеет с прямой $ y=a $, где $ a $ — любое число?

Question

6. Постройте схематически график функции $ y = \begin{cases} x^{-4}, & x < 0; \\ x^3, & x \ge 0. \end{cases} $. Сколько общих точек он имеет с прямой $ y=a $, где $ a $ — любое число?

$Фото задания: 6. Постройте схематически график функции $ y = \begin{cases} x^{-4}, & x < 0; \\ x^3, & x \ge 0. \end{cases} $. Сколько…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Построим график функции по частям:

Для $ x < 0 $: $ y = x^{-4} = \frac{1}{x^4} $.

Это чётная функция, график симметричен относительно оси $ Oy $ для $ x \ne 0 $.
При $ x \to 0^- $, $ y \to +\infty $.
При $ x \to -\infty $, $ y \to 0^+ $.
Примерные точки: $ x=-1, y=1 $; $ x=-2, y=1/16 $.

Для $ x \ge 0 $: $ y = x^3 $.

Это кубическая парабола.
При $ x=0, y=0 $.
При $ x=1, y=1 $.
При $ x=2, y=8 $.
При $ x \to +\infty $, $ y \to +\infty $.

Теперь определим количество точек пересечения графика с прямой $ y=a $, где $ a $ — любое число.

Если $ a < 0 $: Прямая $ y=a $ находится ниже оси $ Ox $. График функции $ y=x^3 $ для $ x \ge 0 $ находится выше оси $ Ox $ (кроме точки (0,0)), а график $ y = \frac{1}{x^4} $ для $ x < 0 $ также находится выше оси $ Ox $. Таким образом, нет пересечений.
Если $ a = 0 $: Прямая $ y=0 $ — это ось $ Ox $. Функция $ y=x^3 $ пересекает ось $ Ox $ в точке (0, 0). Функция $ y = \frac{1}{x^4} $ не пересекает ось $ Ox $ (есть горизонтальная асимптота $ y=0 $). Таким образом, 1 точка пересечения.
Если $ 0 < a < 1 $: Прямая $ y=a $ находится между $ y=0 $ и $ y=1 $. График $ y=x^3 $ для $ x > 0 $ пересечёт прямую $ y=a $ в одной точке $ x = \sqrt[3]{a} $. График $ y = \frac{1}{x^4} $ для $ x < 0 $ также пересечёт прямую $ y=a $ в одной точке $ x = -\sqrt[4]{a} $. Таким образом, 2 точки пересечения.
Если $ a = 1 $: График $ y=x^3 $ пересечёт прямую $ y=1 $ в точке $ x=1 $. График $ y = \frac{1}{x^4} $ пересечёт прямую $ y=1 $ в точке $ x=-1 $. Таким образом, 2 точки пересечения.
Если $ a > 1 $: График $ y=x^3 $ пересечёт прямую $ y=a $ в одной точке $ x = \sqrt[3]{a} $. График $ y = \frac{1}{x^4} $ также пересечёт прямую $ y=a $ в одной точке $ x = -\sqrt[4]{a} $. Таким образом, 2 точки пересечения.

Ответ: Количество точек пересечения зависит от значения $ a $. Если $ a < 0 $ — 0 точек. Если $ a = 0 $ — 1 точка. Если $ a > 0 $ — 2 точки.

6. Постройте схематически график функции \( y = \begin{cases} x^{-4}, & x < 0; \\ x^3, & x \ge 0. \end{cases} \). Сколько общих точек он имеет с прямой \( y=a \), где \( a \) — любое число?

Ответ:

Решение: