7. Координаты точки M(x, y) удовлетворяют системе уравнений { x³ + y³ = 35, xy(x + y) = 30.

7. Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}\)

Воспользуемся формулами суммы кубов и разложения:

• \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\)


• \(x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)

Подставим второе уравнение в первое, используя вторую формулу:

\((x+y)^3 - 3(30) = 35\)

\((x+y)^3 - 90 = 35\)

\((x+y)^3 = 125\)

Извлечем кубический корень:

\(x+y = 5\)

Теперь подставим \(x+y=5\) во второе уравнение системы:

\(xy(5) = 30\)

\(5xy = 30\)

\(xy = 6\)

Теперь у нас есть новая система:

\(\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}\)

Составим квадратное уравнение, где \(x\) и \(y\) будут корнями. Уравнение имеет вид \(t^2 - (x+y)t + xy = 0\):

\(t^2 - 5t + 6 = 0\)

Найдем корни этого уравнения:

\(t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)

Корни: \(t_1 = \frac{5+1}{2} = 3\) и \(t_2 = \frac{5-1}{2} = 2\).

Значит, пары \((x, y)\) могут быть \((3, 2)\) или \((2, 3)\).

Ответ: \((2, 3), (3, 2)\)