5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 15 и катет ВС = 20. На гипотенузе АВ от 4. Определите длину отрезка CD.

5. Решение задачи

Дано:

• Треугольник ABC, \(\angle C = 90^\).


• Катет \(AC = 15\).


• Катет \(BC = 20\).


• CD — высота, опущенная на гипотенузу AB.

Найти: Длину отрезка CD.

Решение:

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:



\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)




\(AB^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\)




\(AB = \sqrt{625} = 25\).



2. Найдем площадь треугольника ABC двумя способами:



Площадь \(S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150\).




Также площадь можно выразить через высоту CD и гипотенузу AB: \(S = \frac{1}{2} \times AB \times CD\).



3. Приравняем оба выражения для площади:



\(150 = \frac{1}{2} \times 25 \times CD\)




\(300 = 25 \times CD\)




\(CD = \frac{300}{25} = 12\).

Ответ: 12