4. Решить систему неравенств { sin x > cos 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.

4. Решение системы неравенств

Дана система неравенств:

\(\begin{cases} \sin x > \cos 2x \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}\)

Сначала преобразуем первое неравенство, используя формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):

\(\sin x > 1 - 2\sin^2 x\)

Перенесем все в одну сторону:

\(2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0\)

Сделаем замену \(t = \sin x\). Получим квадратное неравенство:

\(2t^2 + t - 1 > 0\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(2t^2 + t - 1 = 0\):

\(t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}\)

Корни: \(t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) и \(t_2 = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).

Неравенство \(2t^2 + t - 1 > 0\) выполняется при \(t < -1\) или \(t > \frac{1}{2}\).

Возвращаемся к замене \(t = \sin x\):

• \(\sin x < -1\). Это невозможно, так как \(\sin x \ge -1\) для всех \(x\).


• \(\sin x > \frac{1}{2}\).

Теперь учтем, что \(0 \le x \le 2\pi\). На этом интервале \(\sin x > \frac{1}{2}\) при \(x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})\).

Ответ: \(x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})\)