7. \(\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2;\)

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю и преобразовать его в квадратное уравнение.

• Шаг 1: Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: 4(x + 2).

• \[ \frac{(x+15)(x+2)}{4(x+2)} - \frac{21 \cdot 4}{4(x+2)} = 2 \]

• \[ \frac{x^2 + 2x + 15x + 30 - 84}{4(x+2)} = 2 \]

• \[ \frac{x^2 + 17x - 54}{4(x+2)} = 2 \]

• Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

• \[ x^2 + 17x - 54 = 2 \cdot 4(x+2) \]

• \[ x^2 + 17x - 54 = 8(x+2) \]

• \[ x^2 + 17x - 54 = 8x + 16 \]

• Шаг 3: Переносим все члены в левую часть и приводим к стандартному виду квадратного уравнения.

• \[ x^2 + 17x - 8x - 54 - 16 = 0 \]

• \[ x^2 + 9x - 70 = 0 \]

• Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
• a = 1, b = 9, c = -70

• \[ D = b^2 - 4ac \]

• \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) \]

• \[ D = 81 + 280 \]

• \[ D = 361 \]

• \[ \sqrt{D} = 19 \]

• Находим корни:

• \[ x_1 = \frac{-9 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

• \[ x_2 = \frac{-9 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14 \]

• Шаг 5: Проверяем, не обращают ли корни знаменатель в ноль.

• Знаменатель: 4(x + 2). Он обращается в ноль при x = -2.

• Наши корни: 5 и -14. Ни один из них не равен -2.

Ответ: x = 5; x = -14