6. Яхта проходит за 4 часа по течению реки такое же расстояние, какое за 5 часов против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/час.

Решение:

Обозначим собственную скорость яхты как \( v_{яхты} \) км/ч, а скорость течения реки как \( v_{течения} \) км/ч. Скорость яхты по течению равна \( v_{ яхты} + v_{течения} \), а против течения — \( v_{ яхты} - v_{течения} \).

По условию задачи:

• Скорость течения реки \( v_{течения} = 3 \) км/ч.
• Время движения по течению \( t_{по} = 4 \) часа.
• Время движения против течения \( t_{против} = 5 \) часов.
• Расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения.

Составим уравнение, используя формулу \( S = v · t \):

\[ (v_{ яхты} + v_{течения}) · t_{по} = (v_{ яхты} - v_{течения}) · t_{против} \]

Подставим известные значения:

\[ (v_{ яхты} + 3) · 4 = (v_{ яхты} - 3) · 5 \]

Раскроем скобки:

\[ 4v_{ яхты} + 12 = 5v_{ яхты} - 15 \]

Перенесем члены с \( v_{ яхты} \) в одну сторону, а свободные члены — в другую:

\[ 12 + 15 = 5v_{ яхты} - 4v_{ яхты} \]

\( 27 = v_{ яхты} \)

Собственная скорость яхты равна 27 км/ч.

Ответ: 27 км/ч.