6. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( BHC \):

\( HC = 54 \)

\( \angle C = 40^{\circ} \)

\( BH = HC tan C = 54 tan 40^{\circ} \)

\( BC = \frac{HC}{\cos C} = \frac{54}{\cos 40^{\circ}} \)

\( M \) — середина \( AC \), значит \( MC = AC/2 = 216/2 = 108 \).

\( HC = 54 \).

\( NH = NC - HC = 108 - 54 = 54 \).

\( AH = AC - HC = 216 - 54 = 162 \).

Рассмотрим треугольник \( BMH \). Угол \( \angle BHM = 90^{\circ} \).

\( MH = MC - HC = 108 - 54 = 54 \).

\( BH = 54 tan 40^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( BMH \):

\( tan (\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{54 tan 40^{\circ}}{54} = tan 40^{\circ} \)

\( \angle AMB = 40^{\circ} \)

Ответ: 40