6. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ.

Решение:

Пусть \( CE = c \) (гипотенуза) и \( CK = b \) (катет). По условию:

• \( c + b = 31 \)
• \( c - b = 3 \)

Сложим эти два уравнения, чтобы найти \( c \):

\( (c + b) + (c - b) = 31 + 3 \)

\( 2c = 34 \)

\( c = 17 \) см.

Теперь найдем \( b \), подставив \( c = 17 \) в первое уравнение:

\( 17 + b = 31 \)

\( b = 31 - 17 = 14 \) см.

Итак, гипотенуза \( CE = 17 \) см, а катет \( CK = 14 \) см.

Найдем второй катет \( KE \) по теореме Пифагора:

\( KE^2 + CK^2 = CE^2 \)

\( KE^2 + 14^2 = 17^2 \)

\( KE^2 + 196 = 289 \)

\( KE^2 = 289 - 196 = 93 \)

\( KE = \sqrt{93} \) см.

Расстояние от вершины С до прямой КЕ — это высота, проведенная из вершины С к гипотенузе КЕ. Обозначим это расстояние как \( h_c \).

Площадь прямоугольного треугольника СКЕ можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot KE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93} \) см².
2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot h_c \).

Приравниваем два выражения для площади:

\( \frac{1}{2} \cdot KE \cdot h_c = 7\sqrt{93} \)

\( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{93} \cdot h_c = 7\sqrt{93} \)

Разделим обе стороны на \( \sqrt{93} \):

\( \frac{1}{2} h_c = 7 \)

\( h_c = 14 \) см.

Ответ: 14 см.