3. В прямоугольном треугольнике один из углов — 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите меньший катет и гипотенузу.

Решение:

Пусть \( b \) — меньший катет, а \( c \) — гипотенуза прямоугольного треугольника. У нас есть:

• \( \angle A = 30° \) (меньший угол, противолежащий меньшему катету \( b \))
• \( c + b = 36 \) см

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. То есть \( b = \frac{1}{2}c \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( c + \frac{1}{2}c = 36 \)

\( \frac{3}{2}c = 36 \)

\( c = 36 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot 2 = 24 \) см

Теперь найдем меньший катет:

\( b = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \) см

Ответ: Меньший катет — 12 см, гипотенуза — 24 см.