6) Решить неравенства (для профиля): a) 4^(x+2) - 257 ⋅ 2^x + 16 ≤ 0

Решение:

Это показательное неравенство. Преобразуем его, чтобы привести к квадратному.

1. Запишем \( 4^{x+2} \) как \( 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot (2^2)^x = 16 \cdot (2^x)^2 \).
2. Исходное неравенство примет вид: \( 16 \cdot (2^x)^2 - 257 \cdot 2^x + 16 \le 0 \).
3. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x \) всегда больше нуля, то \( y > 0 \).
4. Неравенство с заменой: \( 16y^2 - 257y + 16 \le 0 \).
5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( 16y^2 - 257y + 16 = 0 \).
6. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-257)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 16 = 66049 - 1024 = 65025 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{65025} = 255 \).
8. Найдем корни: \( y_1 = \frac{257 - 255}{2 \cdot 16} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \) \( y_2 = \frac{257 + 255}{2 \cdot 16} = \frac{512}{32} = 16 \).
9. Так как ветви параболы \( 16y^2 - 257y + 16 \) направлены вверх, неравенство \( 16y^2 - 257y + 16 \le 0 \) выполняется при \( \frac{1}{16} \le y \le 16 \).
10. Вернёмся к замене \( y = 2^x \): \( \frac{1}{16} \le 2^x \le 16 \).
11. Представим числа \( \frac{1}{16} \) и \( 16 \) в виде степени с основанием 2: \( \frac{1}{16} = 2^{-4} \) и \( 16 = 2^4 \).
12. Неравенство примет вид: \( 2^{-4} \le 2^x \le 2^4 \).
13. Поскольку основание степени \( 2 \) больше 1, знак неравенства сохраняется: \( -4 \le x \le 4 \).

Ответ: [-4; 4]