6. Прямая CD касается окружности с центром О и радиусом 12 см. Найдите OD, если угол COD = 60°.

Решение:

Дано:

Окружность с центром \( O \), радиус \( R = 12 \) см.

Прямая CD — касательная.

\( \angle COD = 60° \).

Найти:

\( OD \)

Решение:

1. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \( \angle ODC = 90° \).
2. Рассмотрим \( \triangle ODC \). Это прямоугольный треугольник, так как \( \angle ODC = 90° \).
3. Нам известны:
• Катет \( OC = R = 12 \) см (радиус окружности).
• Угол \( \angle COD = 60° \).
• Угол \( \angle ODC = 90° \).
4. Мы можем найти гипотенузу \( OD \) двумя способами:
• Способ 1: Через синус угла.
• В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin(\angle COD) = \frac{OC}{OD} \).
• \( \sin(60°) = \frac{12}{OD} \).
• Известно, что \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{OD} \).
• \( OD \u00D7 \sqrt{3} = 12 × 2 \).
• \( OD \u00D7 \sqrt{3} = 24 \).
• \( OD = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24 × \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \) см.
• Способ 2: Через тангенс угла.
• Сначала найдём \( Δ \angle OCD \): \( \angle OCD = 180° - 90° - 60° = 30° \).
• Тангенс угла \( \angle COD \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(\angle COD) = \frac{OC}{CD} \) → \( \tan(60°) = \frac{12}{CD} \) → \( \sqrt{3} = \frac{12}{CD} \) → \( CD = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.
• Теперь используем теорему Пифагора: \( OD^2 = OC^2 + CD^2 \).
• \( OD^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 \).
• \( OD^2 = 144 + (16 × 3) \).
• \( OD^2 = 144 + 48 \).
• \( OD^2 = 192 \).
• \( OD = \sqrt{192} = \sqrt{64 × 3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: OD = 8\(\sqrt{3}\) см.