4. Дано: ВО = DO, LABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: ДАВО = ACDO.

Решение:

Дано:

\( BO = DO \)

\( \angle ABC = 45° \)

\( \angle BCD = 55° \)

\( \angle AOC = 100° \)

Найти:

\( \angle D \)

Доказать:

\( \triangle ABO = \triangle CDO \)

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( \angle AOC = 100° \).
2. Рассмотрим \( \triangle BCD \). Угол \( \angle BCD = 55° \).
3. Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — вертикальные, следовательно, \( \angle BOD = \angle AOC = 100° \).
4. Рассмотрим \( \triangle BOD \). Так как \( BO = DO \), то \( \triangle BOD \) — равнобедренный.
5. Сумма углов в \( \triangle BOD \) равна 180°. \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180° \).
6. \( \angle OBD + \angle ODB + 100° = 180° \).
7. \( \angle OBD + \angle ODB = 80° \).
8. Так как \( \triangle BOD \) — равнобедренный, \( \angle OBD = \angle ODB = \frac{80°}{2} = 40° \).
9. Из условия, \( \angle ABC = 45° \), значит \( \angle OBC = 45° \).
10. Из условия, \( \angle BCD = 55° \).
11. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \).
12. У нас есть \( BO = DO \) (дано).
13. Углы \( \angle ABO \) и \( \angle CDO \) не равны по условию (45° и 40°).
14. Возможно, в условии задачи ошибка или не хватает данных для доказательства равенства \( \triangle ABO = \triangle CDO \) и нахождения \( \angle D \).

Предполагаемый вывод (при условии корректности задания): При правильном условии, \( \angle D = \angle ODB = 40° \). Равенство треугольников \( \triangle ABO = \triangle CDO \) требовало бы дополнительных условий (например, равенства сторон \( AO = CO \) или углов \( \angle BAO = \angle DCO \)).

Ответ: При данных условиях задача не решается корректно. Предполагаемый угол D = 40°.