6. Используя данные рисунка, найдите гипотенузу прямоугольного треугольника

Решение:

а)

В прямоугольном треугольнике катеты равны \( x \) и \( 11/\sqrt{3} \), а второй катет равен \( 2x \). По теореме Пифагора: \( x^2 + (2x)^2 = (11/\sqrt{3})^2 \).

1. Упростим: \( x^2 + 4x^2 = 121/3 \)
2. Сложим: \( 5x^2 = 121/3 \)
3. Найдем \( x^2 \): \( x^2 = \frac{121}{3 \cdot 5} = \frac{121}{15} \)
4. Найдем \( x \): \( x = \sqrt{\frac{121}{15}} = \frac{11}{\sqrt{15}} \)
5. Гипотенуза равна \( 2x \): \( 2x = 2 \cdot \frac{11}{\sqrt{15}} = \frac{22}{\sqrt{15}} = \frac{22\sqrt{15}}{15} \)

б)

В прямоугольном треугольнике катеты равны \( y/5 \) и \( 14/\sqrt{3} \). По теореме Пифагора: \( (y/5)^2 + (14/\sqrt{3})^2 = y^2 \).

1. Упростим: \( y^2/25 + 196/3 = y^2 \)
2. Перенесём \( y^2/25 \) в правую часть: \( 196/3 = y^2 - y^2/25 \)
3. Приведём к общему знаменателю: \( 196/3 = \frac{25y^2 - y^2}{25} = \frac{24y^2}{25} \)
4. Выразим \( y^2 \): \( y^2 = \frac{196}{3} \cdot \frac{25}{24} = \frac{196 \cdot 25}{3 \cdot 24} = \frac{4900}{72} = \frac{1225}{18} \)
5. Найдем \( y \): \( y = \sqrt{\frac{1225}{18}} = \frac{35}{\sqrt{18}} = \frac{35}{3\sqrt{2}} = \frac{35\sqrt{2}}{6} \)

Ответ: а) \( \frac{22\sqrt{15}}{15} \) б) \( \frac{35\sqrt{2}}{6} \)